JOM DISCUSS NONLINEAR ANALYSIS PULAK

Dah letih sembang hal politik, jom kita sembang balik hal belajar...ha! ada yang tak jadi nak baca le tewww! haha. Hari ni aku nak sembang pasal nonlinear analysis dalam finite element...korang jangan risau, mesti korang faham punya, just read on.

Apa dia nonlinearity? Macamana nonlinearity ni boleh wujud? Macamana nak solve? Semua persoalan ni kita boleh jawab kalau kita mula dengan bandingkan differential equations (DE) antara linear problem dan nonlinear problem. Untuk memudahkan persembangan kita, just ambik DE yang paling mudah sekali, iaitu DE untuk struktur bar. Untuk linear problem, DEnya boleh diberikan seperti berikut:

Dan untuk nonlinear problem pulak, DEnya seperti kat bawah ni:

So, kalau kita tengok betul betul, beza antara dua equations kat atas (antara linear dan nonlinear) ialah pada variable material property E tu. Kalau linear, E tu tak berubah tapi kalau nonlinear, E berubah ikut value u. Apa benda E dengan u tu? Ala, E tu kira  macam  sifat sesuatu benda tu la, kekerasannya ke, kekuatannya ke, kelembikannye ke etc dan u tu pulak, kita boleh contohkan sebagai pemanjangan benda tu. So, based on definition ini, boleh la kita kata untuk problem linear, tak kesah la benda tu makin lama makin panjang, E tetap juga tak berubah sampai sudah. Tapi, berbeza dengan non linear problem, makin panjang benda tu, makin 'lembik' E jadinya. Kata lain, E benda tu bergantung pada u. Dan, untuk memudahkan lagi persembangan kita, apa kata kita assume E berubah secara berkadar terus dengan u so kita boleh kata:

Pas tu, apa kata kita masukkan balik Equation (3) ke dalam Equation (2), nanti kita akan dapat equation berikut:

So, Equations (1) dan (4) adalah DE untuk linear dan nonlinear problems. Now, boleh la kita buat kesimpulan yang pertama iaitu nonlinear ni wujud disebabkan sifat bahan tu yang bergantung kepada perubahan fizikal (makin panjang ke, makin lebar ke, makin kecik ke etc) yang berlaku kepada bahan tersebut. Ok, so apa masalahnya? 

Haha...masalahnya ialah, DE linear (or Equation (1)) tu senang giler nak solve tapi DE untuk nonlinear (or Equation (4)) giler babi susah nak solve. Sebab tu la orang kecoh-kecoh... nonlinear sini la, nonlinear situ la, nonlinear susahla. Kat mana yang susahnya? Ha..ni aku nak bagitau la ni.

Ok, macam yg aku selalu cakap (contohnya kat SINI), DE boleh dijadikan algebraic equation kalau kita 'Galerkin'kan DE tu. Tak payah la aku tunjukkan prosesnya, tapi kalau kita 'Galerkin'kan Eq (1) kita akan dapat matrix system kat bawah ni:

Dan kalau kita 'Galerkin'kan pulak Equation (4) kita dapat matrix system kat bawah ni:

Ok, semua ingat balik subjek matrix yang kita belajar time SPM dulu. Kalau korang dapat ingat, vector yang betul-betul sebelah kiri simbol '=', yang mengandungi u1 dan u2 tu la, yang kita nak nak sangat, sebab itu lah penyelesaian kepada DE kita yang kat atas tadi. Tapi itu la, Equation (5) mmg la senang nak dapat jawapannya, even SPM dulu dah kita buat....Equation (6) ni yang payahnya. Tak payah? Aaa, kalo tak payah, cuba buat!

Ok nak tau payah ke tak payah nya, cuba kita expandkan atau kembangkan Equation (5) dan Equation (6). Kita kembangkan Equation (5) dulu seperti kat bawah:

Dan kalau kita kembangkan Equation (6) kita akan dapat:

Haaa, sekarang nampak dah payah tak payah nya? Equation (7) tu persamaan serentak yang kacang gila babi nak solve, even SPM dulu dah buat tapi Equation (8), kita ada satu set persamaan kuadratik serentak yang bermakna, kalau kita nak solve juga persamaan nonlinear tu,  kita kena dapatkan 'roots of the polynomial'...haa itu yang payah tu. Dan pasal tu la orang kecoh nonlinear sana, nonlinear sini.

So macamana nak buat? Satu je caranya, kalau betul kita nak jugak solvekan Equation (8) yang nonlinear tu, kita kena 'iterate'kan solution nya sampai converge. Ha, pasal ni la dulu waktu tahun satu kat U kita ada belajar kaedah Newton untuk cari 'roots of polynomial' tapi kita tak pernah nak faham pun kan? hahaha.....tapi Newton method yang kita belajar tu untuk single equation je, untuk satu set equation macam Equation (8), kita kena la guna Newton-Raphson. Nak belajar method ni? Bagus! Bagus! Sapa yang nak belajar, teruskan pembacaan anda di bawah. Sapa yang dah tak larat  tu, dah gi rehat....nanti kita sambung lagi.

(Nota: Penerangan untuk Newton-Raphson method kat bawah ni aku bagi terus dalam bentuk gambar la ek sebab aku malas dah nak tulis...haha. Aku sebenarnya tengah siapkan satu buku dengan Erwan Hafizi (ex-masters student aku dan sekrang dah jadi colleague aku and he's also a Scylla Operation) bertajuk NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS with Matlab Codes. So, the pics below are actually taken from the draft of  the book la, grammar pun tak check lagi...kalau ada salah bagitau k. Betul siap nanti aku bagi korang baca. So.....kat bawah ni la cara untuk kita solvekan nonlinear equations,,,SEKIAN)